২D ট্রান্সফরমেশন

২D ট্রান্সফরমেশন হল গ্রাফিক্সে একটি চিত্র বা অবজেক্টের স্থানান্তর, স্কেলিং, ঘূর্ণন এবং বিকৃতি প্রক্রিয়া। এটি ২D গ্রাফিক্স এবং কম্পিউটার ভিশনের গুরুত্বপূর্ণ অংশ। নিচে ২D ট্রান্সফরমেশনের বিভিন্ন ধরনের ট্রান্সফরমেশন এবং তাদের সমীকরণগুলি আলোচনা করা হলো:

১. স্থানান্তর (Translation)

স্থানান্তর একটি অবজেক্টকে একটি নতুন অবস্থানে সরানোর প্রক্রিয়া। এটি সাধারণত (dx, dy) দ্বারা নির্দেশিত হয়।

সমীকরণ:

• নতুন পয়েন্ট (x', y') এর জন্য: \[
   x' = x + dx
   \]
   \[
   y' = y + dy
   \]

স্কেলিং একটি অবজেক্টের আকার পরিবর্তন করার প্রক্রিয়া, যা X এবং Y অক্ষ বরাবর বিস্তৃত বা সংকুচিত করা হয়।

সমীকরণ:

• নতুন পয়েন্ট (x', y') এর জন্য:  \[
   x' = x \times S_x
   \]
   \[
   y' = y \times S_y
   \]

৩. ঘূর্ণন (Rotation)

ঘূর্ণন একটি অবজেক্টকে একটি নির্দিষ্ট কোণে ঘোরানোর প্রক্রিয়া। এটি একটি পয়েন্ট (x, y) কে θ কোণে ঘোরায়।

সমীকরণ:

• নতুন পয়েন্ট (x', y') এর জন্য: \[
   x' = x \cdot \cos(\theta) - y \cdot \sin(\theta)
   \]
   \[
   y' = x \cdot \sin(\theta) + y \cdot \cos(\theta)
   \]

৪. বিকৃতি (Shearing)

বিকৃতি একটি অবজেক্টের একটি দিক থেকে অপর দিকে চাপ দেওয়ার প্রক্রিয়া, যা অবজেক্টের আকৃতি পরিবর্তন করে।

সমীকরণ:

X-দিকের বিকৃতি:

•  \[
   x' = x + Sh_{xy} \cdot y
   \]
   \[
   y' = y
   \]

Y-দিকের বিকৃতি:

•  \[
   x' = x
   \]
   \[
   y' = y + Sh_{yx} \cdot x
   \]

৫. মিশ্রিত ট্রান্সফরমেশন (Combined Transformation)

বিভিন্ন ট্রান্সফরমেশন একসঙ্গে করে একটি নতুন ট্রান্সফরমেশন ম্যাট্রিক্স তৈরি করা যায়। সাধারণত, একটি পয়েন্ট (x, y) কে একাধিক ট্রান্সফরমেশনের মাধ্যমে পরিবর্তন করতে হলে এই ম্যাট্রিক্সগুলোকে একত্রিত করা হয়।

২D ট্রান্সফরমেশন ম্যাট্রিক্স:

স্থানান্তর ম্যাট্রিক্স:

•  \[
   T = \begin{bmatrix}
   1 & 0 & dx \\
   0 & 1 & dy \\
   0 & 0 & 1
   \end{bmatrix}
   \]

স্কেলিং ম্যাট্রিক্স:

•  \[
   S = \begin{bmatrix}
   S_x & 0 & 0 \\
   0 & S_y & 0 \\
   0 & 0 & 1
   \end{bmatrix}
   \]

ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্স:

• \[
   R = \begin{bmatrix}
   \cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\
   \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\
   0 & 0 & 1
   \end{bmatrix}
   \]

বিকৃতি ম্যাট্রিক্স (Y-দিকের জন্য):

•  \[
   Sh = \begin{bmatrix}
   1 & Sh_{xy} & 0 \\
   Sh_{yx} & 1 & 0 \\
   0 & 0 & 1
   \end{bmatrix}
   \]

উপসংহার

২D ট্রান্সফরমেশন হল গ্রাফিক্সের একটি মৌলিক দিক যা ছবি এবং অবজেক্টগুলির আকৃতি ও অবস্থান পরিবর্তনে ব্যবহৃত হয়। স্থানান্তর, স্কেলিং, ঘূর্ণন, এবং বিকৃতি এই প্রক্রিয়ার মূল অংশ এবং এগুলি একত্রিত করে উন্নত গ্রাফিক্স অ্যাপ্লিকেশন তৈরি করা সম্ভব।